Teóricos de Matemática 2007 (plan 87)

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Contenidos:

• Funciones:
• Definición.
• Dominio.
• Límite de una funión.
• Continuidad.
• Derivada.
• Definición.
• Ecuación de la recta tangente.
• Aproximación del valor de una función derivable en un punto mediante la ordenada de la recta tangente. Justificación de dicha aproximación mediante la definición de derivada.
• Continuidad de las funciones derivables.
• Teorema: Derivabilidad implica continuidad. Demostración.
• Diferenciabilidad:
• Introducción.
• Función diferenciable.
• Diferencial de f en x=x0 para el incremento DX. Interpretación geométrica.
• Expresión analítica de la diferencial.
• La diferencial como parte lineal del incremento.
• Teorema de Rolle. 
• Teorema de Lagrange. Demostración.
• Corolario del Teorema de Lagrange. Demostración.
• Primitiva.
• Diferencias entre la expresión de Df(x0, Dx) dada por diferenciales y la dada por el teorema de Lagrange.
• Teorema de Cauchy. Demostración.
• Polinomio de Taylor,
• Polinomio de McLaurin.
• Regla de L'Hopital. Demostración.
• Teorema de Bolzano. Interpretación geométrica. Corolario.
• Definición de máximo y mínimo absoluto.
• Definición de máximo y mínimo relativo. Propiedad y demostración de la propiedad.
• Condición suficiente para que exista un máximo o mínimo relativo.
• Definición de concavidad.
• Integración:
• Integral definida.
• Teorema del valor medio del cálculo integral. Demostración.
• Propiedades de la integral definida.
• Teorema fundamental del cálculo integral. Idea geométrica. Demostración.
• Regla de Barrow. Demostración.
• Área comprendida entre dos curvas.
• Volumen por secciones.
• Volumen de un sólido de revolución.
• Espacio obtenido a partir de la velocidad instantánea.
• Integrales impropias.
• Vectores:
• Vector.
• Versor.
• Producto escalar. Propiedades.
• Vectores en el plano.
• Diferencia.
• Producto vectorial. Propiedades.
• Producto mixto. Interpretación geométrica del producto mixto.
• Algo sobre determinantes: Regla de Cramer, Regla de menores.
• Funciones a valores vectoriales.
• Gráfica.
• Trayectoria.
• Límite. Interpretación geométrica.
• Ecuación de la recta que tiene la dirección de A y pasa por P0.
• Recta que pasa por P0 y P1.
• Longitud de curva.
• Interpretación vectorial del Teorema de Cauchy.
• Campos escalares.
• Derivada direccional.
• Función derivada parcial.
• Fórmula de cálculo de la derivada direccional.
• Campo vectorial.
• Relación entre las diversas expresiones de la integral curvilínea.
• Derivada direccional máxima, mínima y nula.
• Operador vectorial nabla.
• Derivadas sucesivas.
• Teorema de Schwarz.
• Diferencial de campos escalares. Definición. Propiedades.
• Ecuación del plano tangente.
• Diferenciales sucesivas de un campo escalar.
• Polinomio de Taylor de orden n asociado a la función z=f(x,y), f:R2->R en el punto P0=(x0,y0).
• Regla de la cadena. 4 Casos.
• Derivada de una función definida en forma implícita.
• Campos vectoriales:
• El campo gradiente.
• La divergencia.
• El rotacional.
• Integrales curvilíneas.
• Forma diferencial. Notaciones.
• Formas diferenciales exactas.
• Integrales curvilíneas de campos conservativos.
• Integrales dobles.
• Teorema de Green. Demostración.
• Corolario del Teorema de Green.
• Ecuaciones diferenciales. Definición:
•  Ecuaciones diferenciales de orden 1.
• Problema del valor inicial.
• Teorema de Picard.
• Ecuaciones diferenciales a partes separables.
• Ecuaciones diferenciales exactas.
• Factor integrante.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 2.
• Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2.
• Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 homogéneas. Propiedades.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 2 homogéneas con coeficientes constantes.
• Polinomio característico.
• Problemadel valor inicial.
• Método de variación de parámetros.

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