Propanona: Deducción de la ecuación de Michaelis-Menten.

Según la teoría general de la acción enzimática, de Michaelis-Menten, la enzima (E) se combina en primer lugar de forma reversible con su sustrato formando un complejo enzima-sustrato (ES) en un paso reversible relativamente rápido. El complejo ES se descompone seguidamente en un segundo paso más lento dando la enzima libre y el producto (P) de la reacción:

Podemos definir la velocidad de la reacción como:

$v=k_{2}\cdot \left [ ES \right ]-k_{-2}\cdot \left [ E \right ]\cdot \left [ P \right ]$

Consideración 1:

En condiciones de velocidad inicial $\left [ P \right ]_{t=0}=0$

$\Rightarrow \left [ S \right ]_{t=x}=\left [ S \right ]_{t=0}$

y $\left [ S \right ]_{t=x}> > > \left [ P \right ]_{t=x}$

$\Rightarrow k_{-2}\cdot \left [ E \right ]\cdot \left [ P \right ]=0\therefore$ se puede despreciar la reacción inversa.

$\Rightarrow v_{0}=k_{2}\cdot \left [ ES \right ]$

$\left [ ES \right ]$ no se puede conocer!!!

Consideración 2:

$\left [ S \right ]> > > \left [ E \right ]$

Balance de masa: $\left [ S \right ]_{total}=\left [ S \right ]_{libre}+\left [ ES \right ]$

$\Rightarrow \left [ S \right ]> > > \left [ E \right ]\Rightarrow \left [ ES \right ]$ es despreciable.

$\Rightarrow \left [ S \right ]_{total}=\left [ S \right ]_{libre}$

Cinética del estado estacionario:

velocidad de formación $\left [ ES \right ]$ = velocidad de descomposición $\left [ ES \right ]$

$\frac{\mathrm{d} \left [ ES \right ]}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{d} \left [ ES \right ]}{\mathrm{d} t}$

o:

$\frac{\mathrm{d} \left [ ES \right ]}{\mathrm{d} t}=0$

$\frac{\mathrm{d} \left [ ES \right ]}{\mathrm{d} t}=k_{1}\cdot \left [ E \right ]\cdot \left [ S \right ]$

$-\frac{\mathrm{d} \left [ ES \right ]}{\mathrm{d} t}=k_{-1}\cdot \left [ ES \right ]+k_{2}\cdot \left [ ES \right ]=\left [ ES \right ]\cdot \left ( k_{-1} +k_{2}\right )$

$\Rightarrow k_{1}\cdot \left [ E \right ]\cdot \left [ S \right ]=\left [ ES \right ]\cdot \left ( k_{-1} +k_{2}\right )$

Por balance de masa: $\left [ E \right ]_{T}=\left [ E \right ]+\left [ ES \right ]$

$\left [ ES \right ]=\frac{k_{1}\cdot \left [ E \right ]_{T}\cdot\left [ S \right ]}{k_{-1}+k_{2}+k_{1}\cdot \left [ S \right ]}=\frac{k_{1}\cdot \left [ E \right ]_{T}\cdot \left [ S \right ]}{k_{1}\cdot \left \{ \left ( \frac{k_{-1}+k_{2}}{k_{1}} \right ) +\left [ S \right ]\right \}}$

$\Rightarrow \left [ ES \right ]=\frac{\left [ E \right ]_{T}\cdot \left [ S \right ]}{\frac{k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}+\left [ S \right ]}$

Constante de Michaelis:

$K_{M}=\frac{k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}$

$\Rightarrow \left [ ES \right ]=\frac{\left [ E \right ]_{T}\cdot \left [ S \right ]}{K_{M}+\left [ S \right ]}$

De esta manera es posible calcular:

$v_{0}=k_{2}\cdot \left [ ES \right ]=\frac{k_{2}\cdot \left [ E \right ]_{T}\cdot \left [ S \right ]}{K_{M}+\left [ S \right ]}$

Dado que la velocidad máxima se obtendrá cuando la enzima está saturada, es decir cuando [ES]=[E]_T

entonces podemos definir $v_{m\acute{a}x}=k_{2}\cdot\left[E\right]_{T}$

Dando así la ecuación de Michaelis-Menten.

$v_{0}=\frac{v_{m\acute{a}x}\cdot\left[S\right]}{K_{M}+\left[S\right]}$

La ecuación de Michaelis-Menten es la ecuación de velocidad de una reacción catalizada enzimáticamente con un sustrato.

lunes, 28 de julio de 2014

Deducción de la ecuación de Michaelis-Menten.

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